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त्रिभुज की परिभाषा और प्रकार – Definition And Types Of Triangle PDF Free Download
त्रिभुज
भूमिका
आप अपनी पिछली कक्षाओं से, त्रिभुजों और उनके अनेक गुणधमों से भली भाँति परिचित हैं। कक्षा IX में, आप त्रिभुजों की सर्वांगसमता के बारे में विस्तृत रूप से अध्ययन कर चुके हैं। याद कीजिए कि दो त्रिभुज सर्वांगसम तब कहे जाते हैं जब उनके समान आकार (shape) तथा समान आमाप (size) हो।
इस अध्याय में, हम ऐसी आकृतियों के बारे में अध्ययन करेंगे जिनके आकार समान हो परंतु उनके आमाप का समान होना आवश्यक नहीं हो। दो आकृतियाँ जिनके समान आकार हो (परंतु समान आमाप होना आवश्यक न हो) समरूप आकृतियाँ (similar figures) कहलाती हैं।
विशेष रूप से, हम समरूप त्रिभुजों की चर्चा करेंगे तथा इस जानकारी को पहले पढ़ी गई पाइथागोरस प्रमेय की एक सरल उपपत्ति देने में प्रयोग करेंगे।
क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि पर्वतों (जैसे माऊंट एवरेस्ट) की ऊँचाईयाँ अथवा कुछ दूरस्थ वस्तुओं (जैसे चन्द्रमा) की दूरियाँ किस प्रकार ज्ञात की गई हैं?
क्या आप सोचते हैं कि इन्हें एक मापने वाले फीते से सीधा (प्रत्यक्ष) मापा गया है? वास्तव में, इन सभी ऊँचाई और दूरियों को अप्रत्यक्ष मापन (indirect measurement) की अवधारणा का प्रयोग करते हुए ज्ञात किया गया है,
जो आकृतियों की समरूपता के सिद्धांत पर आधारित है (देखिए उदाहरण 7 प्रश्नावली 6.3 का प्रश्न 15 तथा साथ ही इस पुस्तक के अध्याय 8 और 9)।
समरूप आकृतियाँ
कक्षा IX में, आपने देखा था कि समान (एक ही) त्रिज्या वाले सभी वृत्त सर्वांगसम होते हैं, समान लंबाई की भुजा वाले सभी वर्ग सर्वागसम होते हैं तथा समान लंबाई की भुजा वाले सभी समबाहु त्रिभुज सर्वागसम होते हैं।
अब किन्हीं दो (या अधिक) वृत्तों पर विचार कीजिए (देखिए आकृति 6.1 (1))। क्या ये सर्वागसम है? चूँकि इनमें से सभी की त्रिज्या समान नहीं है, इसलिए ये परस्पर सर्वागसम नहीं हैं। ध्यान दीजिए कि इनमें कुछ सर्वागसम हैं और कुछ सर्वागसम नहीं हैं.
परंतु इनमें से सभी के आकार समान हैं। अत:, ये सभी वे आकृतियाँ हैं जिन्हें हम समरूप (similar) कहते हैं। दो समरूप आकृतियों के आकार समान होते हैं परंतु इनके आमाप समान होने आवश्यक नहीं हैं। अतः सभी वृत्त समरूप होते हैं। दो
क्या एक वृत्त और एक वर्ग समरूप हो सकते हैं? क्या एक त्रिगुन और एक वर्ग समरूप हो सकते हैं? इन आकृतियों को देखने मात्र से ही आप प्रश्नों के उत्तर दे सकते हैं. (देखिए आकृति 6.1)। स्पष्ट शब्दों में ये आकृतियाँ समरूप नहीं है। (क्यों?)
आप दो चतुर्भुजों ABCD और PQRS के बारे में क्या कह सकते हैं (देखिए आकृति 6.2)? क्या ये समरूप हैं? ये आकृतियाँ समरूप सी प्रतीत हो रही हैं, परंतु हम इसके बारे में निश्चित रूप से कुछ नहीं कह सकते।
इसलिए, यह आवश्यक हो जाता है कि हम आकृतियों की समरूपता के लिए कोई परिभाषा ज्ञात करें तथा इस परिभाषा पर आधारित यह सुनिश्चित करने के लिए कि दो दी हुई आकृतियाँ समरूप हैं या नहीं, कुछ नियम प्राप्त करें। इसके लिए आइए आकृति 63 में चित्रों को देखें.
आप तुरंत यह कहेंगे कि ये एक ही स्मारक (ताजमहल) के चित्र हैं, परंतु ये भिन्न-भिन्न आमापों (sizes) के हैं। क्या आप यह कहेंगे कि ये चित्र समरूप है? हाँ ये है।
आप एक ही व्यक्ति के एक हो आमाप वाले उन दो चित्रों के बारे में क्या कह सकते हैं. जिनमें से एक उसकी 10 वर्ष की आयु का है तथा दूसरा उसकी 40 वर्ष की आयु का है? क्या ये दोनों चित्र समरूप है? ये चित्र समान आमाप के है. परंतु निश्चित रूप से ये समान आकार के नहीं हैं। अतः ये समरूप नहीं हैं।
जब कोई फोटोग्रफर एक ही नेगेटिव से विभिन्न के फोटो प्रिंट निकालती है, तो वह क्या करती है? आपने स्टैंप साइज़, पासपोर्ट साइज़ एवं पोस्ट कार्ड साइज़ फोटो (या चित्रों) के बारे में अवश्य सुना होगा।
वह सामान्य रूप से एक छोटे आमाप (साइज) की फ़िल्म (film), मान लीजिए जो 35 mm आमाप वाली फ़िल्म है, पर फ़ोटो खींचती है और फिर उसे एक बड़े आमाप, जैसे 45 mm (या 55 mm) आमाप, वाली फ़ोटो के रूप में आवर्धित करती है |
| लेखक | – |
| भाषा | हिन्दी |
| कुल पृष्ठ | 40 |
| PDF साइज़ | 20 MB |
| Category | Mathematics |
| Source/Credits | drive.google.com |
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